解决问题的策略—转化

教师：邹孝莉

（一）直接导入

导入：在以往的学习中，我们学习很多解决问题的策略，今天我们继续这一知识。

（二）观察实践，探索转化

1、等积转化

（1）出示例题，这里有两个平面图形，哪个面积大一些？有什么办法可以比较不规则图形的面积大小？

（2）操作要求：

独立思考：你想怎样比较这两个图形的面积？

动手尝试：在作业单上画一画、算一算，把你的想法记录下来。

同桌交流：把你的想法和同桌说一说。

预设一：数格子法。

追问：怎么数，要注意什么？

明确：整格的算1，不满整格的算0.5，数出两个图形的面积，再比较。

预设二：分割计算法。把图形看作组合图形，分割或填补成规则图形。左边图形面积为8×6=48（格），右边图形面积为12×4=48（格），因此两个图形面积相等。

预设三：图形变换法。把两个图形通过分割、平移、旋转等图形变化转化成两个完全相同的长方形，再比较面积。两个图形都可以转化成长8格、宽6格的长方形，因此这两个图形面积相等。

（3）这两种方法有什么相同之处吗？

 指出：它们都是通过分割、平移、旋转等方法，把不规则图形变成了规则图形后进行比较的。（板书：平移、旋转、不规则、规则）

揭题：像这样把不规则的图形变规则，把复杂的问题变简单，把不会的问题变成学过的问题，就是一种解决问题的策略——转化。（板书：转化）

引导：转化后，什么变了，什么没有变？（形状变了，面积没有变）。

指出：像这样，形状改变而面积不变的转化，叫做等积转化。（板书：等积转化）

比较：转化和数格子相比，你更加喜欢哪一种呢，为什么？

明确：转化能够使问题由复杂变为简单。（板书：复杂、简单）

2、等长转化

过渡：刚才我们通过转化，解决了比较不规则图形面积大小的问题，下面我们一起来看看周长中的转化。

（1）出示：习题，边长1厘米的方格纸，

提问：这也是一个不规则图形，图中它的周长指的是什么？（根据动画指一指）

（2）操作要求：

独立思考：你想怎样比较这两个图形的周长？

动手尝试：在作业单上写写、画画，把你的想法记录下来。

同桌交流：把你的想法和同桌说一说。

预设：将水平方向的三条边向上平移，垂直方向的几条边向左右两边平移，使这个图形转化为长方形。而平移的过程中，边线的长度不变，所以计算图形的周长实际上就是在计算长方形的周长。长方形的长是6厘米，宽是4厘米。周长是（6＋4）×2=20厘米。

提问：刚才，我们是运用什么策略解决问题的？（转化）

转化前后什么变了，什么没变？（形状变了，周长不变。）

指出：像这样，形状改变而周长不变的转化，叫做等长转化。（板书：等长转化）

3、对比感受，明晰转化

比较：我们刚才解决了不规则图形的面积和周长问题，在解题过程中，有没有相同之处？（出示前后两组图）

预设：都是把不规则图形通过平移或旋转的方法转化成规则图形。

归纳：转化成规则图形有什么好处吗？

预设：转化能够把未知变为已知，把复杂变为简单。

比较：在解题过程有什么不同之处？

预设：第一个问题比较的是两个图形的面积，第二个问题比较的是两个图形的周长。比较的对象不同，转化的对象也不同。

引导：在运用转化策略的时候，需要注意些什么？

明确：比较面积，转化时面积就不能变，这叫“等积转化”；比较周长，转化时周长就不能变，这叫“等长转化”。总之，在运用转化策略时，比什么、求什么，这个量在转化前后不能发生变化。

4、梳理反思，深化转化

引导：在以前的学习中，我们用转化解决过哪些问题？（数的转化、形的转化）

预设1：推导平面图形面积的过程都用了转化策略，如平行四边形转化为长方形；三角形转化为平行四边形……

小结：研究图形面积时，我们都是把遇到的新问题转化为已经学过的旧问题，转化时用的主要方法就是平移、旋转等。

预设2：计算的时候经常用到转化的策略。如小数乘法要转化为整数乘法计算；除数是小数的除法转化为除数是整数的除法计算……

小结：随着数的运算范围的拓展，我们也是在不断地将新问题转化为旧问题解决，在计算时运用转化主要的转化依据是运算规律、性质等。

总结：看来转化在我们的数学中是一种既常见又重要的解决问题的策略。

（三）练习运用，深化策略

过渡：很多数学家指出“什么是解题？解题就是把题目转化成已经解过的题。”通过刚才的回顾，我们不难发现的确是这样的。下面我们来运用转化的策略解决一些新问题。

1、练一练

（1）生自主尝试，并交流：

生1：用大长方形的面积减去两条小路的面积。

追问：这样做有什么问题吗？（多减了一次重叠部分的面积。）

生2：将小路平移到边上，然后草坪就变成了一个新的长方形。利用长方形的面积公式出草坪的面积。

（2）如果现在有如图的四条小路，请运用刚才经验快速求出草坪的面积。

小结：通过平移小路，把零散的草坪转化成新的长方形就可以快速解决问题。

（4）如果草坪里有这样的平行四边形的小路呢？

指出：我们可以通过把其中斜的这一条（平行四边形）转化为竖直的（等底等高的长方形），面积相等。

2、练习十六第2题

（1）出示：用分数表示各图中的涂色部分。

生独立完成后写好后与同桌交流，说说是怎么思考的。

第三小题需要着重讲解，课件展示数格子、分割平移、分割旋转或者计算空白

格子等转化的方法。

提问：第三小题怎么转化？

预设1：第三张图的涂色部分占整个图形总面积的9/16。

请学生充分交流、辨析，教师相机演示旋转阴影部分，说明9/16是错误的。

预设2：第三张图的阴影部分占整个图形总面积的10/16。

我们可以分割、平移阴影部分，也可以平移空白部分，再通过数格子的方法得出空白部分占整个图形的6/16，阴影部分占整个图形的10/16。

 预设3：计算空白部分4个三角形面子的和，再用总面积减去空白部分的面积。

小结：当直接观察涂色部分和整个图形的关系比较困难的时候，思考的角度也可以根据具体问题灵活的变化。我们可以先考虑简单一点的空白部分，这也是实现转化策略的一种方法，叫作“正难则反”。

（2）拓展：有了之前的经验，请同学们再来判断一下，这两张图中阴影部分占整个图形总面积的几分之几。

小结：实现转化的方法有很多，我们要根据题目的特点和解决问题的需求，灵活选择合适的方法。

（四）总结延伸，升华转化

引导：同学们，通过今天这一堂课，你对转化是不是有了进一步的体会？

数学上，转化的方法除分割、平移、旋转以外，还可以化曲为直、化繁为简、化正为反等，都是为了把新问题转化成旧问题，把未知转化为已知，把复杂转化为简单。

生活中也有很多问题可以用转化的策略解决，希望同学们能够用善于发现的眼睛、善于思考的头脑、勇于实践的双手去点燃创意，解决问题。